JAJU938 設計ガイド

JAJU938 June 2024 – December 2024 MSPM0G1507

図 2-21 に、SMO に組み込まれた通常の PLL を示します。

図 2-21 PMSM 向け PLL 搭載 eSMO のブロック図

従来の低次スライディングモードオブザーバは、式 21 に示す数学モデルと、図 2-22 に示すブロック図を使用して構築されます。

式 21.

[\begin{matrix} {\dot{\hat{i}}}_{α} \\ {\dot{\hat{i}}}_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} {- R}_{s} & - {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) \\ {\hat{ω}}_{e} (L_{d} - L_{q}) & {- R}_{s} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{i}}_{α} \\ {\hat{i}}_{β} \end{matrix}] + \frac{1}{L_{d}} [\begin{matrix} V_{α} - {\hat{e}}_{α} + z_{α} \\ V_{β} - {\hat{e}}_{β} + z_{β} \end{matrix}]

ここで、

式 22.

[\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} k_{α} sign ({\hat{i}}_{α} - i_{α}) \\ k_{β} sign ({\hat{i}}_{β} - i_{β}) \end{matrix}]

ここで、

k_α と k_β が正であり、SMO の安定動作を実現するのに十分な大きさであるなら、k_α と k_β は保持するのに十分な大きさになります。

式 23.

k_{α} > \max (|e_{α}|)

および

式 24.

k_{β} > \max (|e_{β}|)

図 2-22 従来のスライディングモードオブザーバのブロック図

α-β 軸における EEMF の推定値 (式 25、式 26) は、不連続スイッチング信号 z_α および z_β からのローパスフィルタによって得られます。

式 25.

{\hat{e}}_{α}

式 26.

{\hat{e}}_{β}

式 27.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} \\ {\hat{e}}_{β} \end{matrix}] = \frac{ω_{c}}{s + ω_{c}} [\begin{matrix} z_{α} \\ z_{β} \end{matrix}]

ここで、

式 28.

ω_{c} = 2 {πf}_{c}

は LPF のカットオフ角周波数で、通常は固定子電流の基本周波数に応じて選択されます。

したがって、回転子位置は、式 29 が定義するように、逆起電力のアークタンジェントから直接計算できます。

式 29.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}})

ローパスフィルタは、スライディングモード関数の高周波項を除去することにより、位相遅延を引き起こします。この遅延は、カットオフ周波数 ω_c と逆起電力周波数 ω_e の関係で補償できます。この関係は、式 30 に示すように定義されています。

式 30.

∆ θ_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{ω_{e}}{ω_{c}})

次に、SMO 方式によって推定された回転子位置は、式 31 で求められます。

式 31.

{\hat{θ}}_{e} = - \tan^{- 1} (\frac{{\hat{e}}_{α}}{{\hat{e}}_{β}}) + ∆ θ_{e}

デジタル制御アプリケーションでは、SMO の時間離散式が必要です。時間離散オブザーバに変換するには、オイラー法が適切です。α-β 座標における式 21 の時間離散システムマトリックスは、式 32 によって次のように求められます。

式 32.

[\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} {\hat{\dot{i}}}_{α} (n) \\ {\hat{\dot{i}}}_{β} (n) \end{matrix}] + [\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] [\begin{matrix} V_{α}^{*} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) + z_{α} (n) \\ V_{β}^{*} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) + z_{β} (n) \end{matrix}]

ここで、

式 33.

[\begin{matrix} F_{α} \\ F_{β} \end{matrix}] = [\begin{matrix} e^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

式 34.

[\begin{matrix} G_{α} \\ G_{β} \end{matrix}] = \frac{1}{R_{s}} [\begin{matrix} {1 - e}^{- \frac{R_{s}}{L_{d}}} \\ 1 - e^{- \frac{R_{s}}{L_{q}}} \end{matrix}]

式 27 の時間離散形式は、式 35 によって次のように求められます。

式 35.

[\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n + 1) \\ {\hat{e}}_{β} (n + 1) \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\hat{e}}_{α} (n) \\ {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}] + 2 {πf}_{c} [\begin{matrix} z_{α} (n) - {\hat{e}}_{α} (n) \\ z_{β} (n) - {\hat{e}}_{β} (n) \end{matrix}]